Концепция актуальной бесконечности как «научная икона» Божества

Владимир Катасонов, доктор философских наук.

Все лекции цикла можно посмотреть здесь.

Бесконечность всегда, во всех культурах была для человека определенной загадкой. Причем понимать бесконечность можно двояко. Как говорят, существует потенциальная бесконечность и актуальная бесконечность, это различение ввели уже греческие мыслители, философы, ученые. Потенциальная бесконечность – это когда мы, например, берем ряд натуральных чисел 1, 2, 3 и т.д. и вместе с каждым числом мы можем взять и следующее число, т.е. бесконечность как процесс. В этом случае мы говорим о потенциальной бесконечности.

А если мы представим, что взяли все числа сразу (хотя, конечно, трудно сказать, что это значит, мы уже не можем представить сразу и 20 яблок), тем не менее конструкция такого рода в науке рассматривается – все числа сразу как единое множество. Тогда говорят, что мы имеем дело с актуальной бесконечностью. То же относится, например, к делению – бесконечности в направлении убывания, т.е. если мы делим отрезок пополам, потом каждую половинку опять пополам и т.д., потенциально процесс продолжается бесконечно – всегда будут получаться отрезки, которые мы будем делить дальше. Но если мы представим, что разделили до конца, так что отрезков уже не получилось, т.е. как бы до точек, мы говорим, что имеем актуальную бесконечность. Хотя, что это такое, мы опять не можем представить, но задавать об этом вопрос, мыслить, мы можем.

Об этом начали мыслить уже греки в античной философии и науке, и они осознали, что с понятием актуальной бесконечности связаны апории, которые нарушали принципиальные аксиомы познания. Одной из фундаментальных аксиом для античной математики является то, что часть меньше целого. Это можно прочесть в «Началах» Евклида. Куда естественнее: часть меньше целого. Но если мы берем актуально бесконечное множество, например все натуральные числа: 1, 2, 3 и т.д., и берем только их часть, например, только четные числа, то легко осознаем, что четных чисел столько же, сколько всех чисел. Мы ставим во взаимно однозначное соответствиевсе четные числа и все числа. 1 ставим соответственно 2, 2 – 4, 3 – 6 и т.д. Получается, что четнчх чисел столько же, сколько всех чисел, т.е. часть равна целому. Но этот процесс ведь можно и терировать, продолжать дальше: четные числа также брать через одно, и их получится столько же, сколько было четных чисел, и стало быть столько, сколько было изначально. И продолжать эту операцию можно сколь угодно далеко. И что же это получается за множество – все числа? Это такое множество, что сколь угодно прореженная его часть оказывается равна ему самому. Когда с этим встретились греки, они сказали: такому понятию нет места в науке. Поэтому актуальную бесконечность они осознали, но в науку ее не допускали. В частности, в геометрии, в «Началах» Евклида, все линии, прямые, плоскости – всё это некоторые конечные величины, хотя они могут быть очень большими и сколь угодно большими, но не бесконечными.

Парадокс заключается в том, что в XVII веке в математике изобретается дифференциально-интегральное исчисление, которое совершенно сознательно использует понятие актуально бесконечно малых, вроде тех точек, которые получаются при делении отрезка до конца, и актуально бесконечно больших величин – это все числа. Создали это исчисление независимо друг от друга Ньютон и Лейбниц. Разве они не знали всех тех апорий, о которых говорила античность? Все прекрасно знали, но оказывается, этот шаг был уже подготовлен.

Чем он был подготовлен? Этот вопрос был для меня стимулом в моих исследованиях по философии науки. И со временем, в общем, удалось осознать, что эта легитимация актуальной бесконечности в науке произошла под влиянием богословия, христианского богословия. Греки не могли рассуждать о бесконечности, собственно, и потому, что не было никакого актуально бесконечного предмета, о котором можно было бы рассуждать. В греческом мире все конечно, и греческие боги тоже конечны, они ограничивают один другого, правда, есть еще бездна, которая всех их порождает, но греки в этом особенно не спекулировали.

Когда же в христианстве произошла встреча библейской культуры и античного миросозерцания, античной философии, здесь из библейской культуры пришла идея актуально бесконечного в позитивном смысле. Уже в псалмах Давида мы читаем такие слова: Велий Господь и хвален зело, и величию Его нет конца (Пс. 44), где величию Его нет конца можно понимать и актуально бесконечно. Или в 46 псалме: Велий Господь наш и велия крепость Его, и разума Его нет числа. Разума Его нет числа – разум Его выше всех чисел, стало быть, это актуально бесконечная величина. Блаженный Августин говорит, что если у разума Божьего нет числа, все, что охватывает что-то, больше его, поэтому разум Божий может охватить все числа. Мы не можем охватить, а он охватывает все числа.

Постепенно идея того, что христианский Бог актуально бесконечен в смысле Своей творческой мощи, познания и в смысле бесконечного милосердия, становится в христианском богословии общепринятой. Но очень интересно, что не сразу. Например, у Оригена, который очень зависел от запретов античной мысли, Бог конечен. Почему? Потому что если бы Бог был бесконечен, то Он не мог бы мыслить Самого Себя, ведь актуальная бесконечность немыслима. Но через христианское богословие эта идея актуальной бесконечности Бога потихоньку начинает влиять и на другие сферы. И в богословии идет определенное развитие, в XV веке появляются работы Николая Кузанского, который начинает актуальную бесконечность Бога как бы символизировать актуально бесконечными геометрическими объектами: треугольники бесконечной величины, сферы с бесконечным радиусом, которые имеют парадоксальные свойства, но тем самым эта идея актуальной бесконечности уже потихоньку входит и в науку. Поэтому в XVII века она как бы легализуется в науке. Она легализуется, создается метод дифференциально-интегрального исчисления, но все-таки что такое актуальная бесконечность и как мы ее постигаем (а мы ее не постигаем) остается загадочным и для самих создателей этого дифференциально-интегрального исчисления. Кстати, Декарт был финитист, он не признавал актуальной бесконечности, и большинство философов в XVII веке держатся античных представлений. Но Лейбниц, который был «промоутером» этой идеи, доказывал, что актуальная бесконечность существует и в мире, очень много сделал для ее легализации, и он же, как я уже сказал, был одним из изобретателей дифференциально-интегрального исчисления.

Тем самым это входит в науку, дифференциально-интегральное исчисление – это основной метод математической физики, которая начинает бурно развиваться. Но все равно, что такое актуальная бесконечность остается загадочным, поэтому на протяжении всех веков, до начала XX века и более глубокомысленные ученые, и философы пытаются как-то подступиться к осознанию этой идеи. Но в самой науке, в частности математике, уже к концу XIX века созревают некоторые идеи актуально бесконечных множеств.

Главным создателем идеи актуально бесконечных множеств был Георг Кантор, который создал теорию множеств, как бы арифметику бесконечных чисел, но самое интересное, что внутри этой арифметики очень быстро самим Кантором были обнаружены противоречия – апории, которые никак неразрешимы. Причем это были все те же античные апории, но уже пересказанные на новом языке – языке множеств. Например, апория о множествах, которые не являются подмножествами самого себя – апория расы и другие. Некоторые из них имеют и чисто логическую интерпретацию. Например, первая апория имеет интерпретацию на языке логики. Например, в деревне живет брадобрей, который бреет всех, кто не бреет себя, должен ли он брить сам себя? Если он сам себя бреет, то ведь он бреет только тех, кто самих себя не бреет, стало быть он не должен сам себя брить. А если он сам себя не бреет, то всех, кто себя не бреет, он должен брить, то тогда он должен себя брить. Наше представление о логике, что на любой вопрос обязательно должен быть ответ «да» или «нет», когда мы имеем дело с самоприменимыми конструкциями, которые связаны с актуально бесконечными множествами, мы не можем ответить ни «да», ни «нет».

Все эти проблемы начали в математике так называемый третий кризис математики, который по существу продолжался весь XX век и так до конца и не был решен. И, конечно, из самого генезиса идеи актуальной бесконечности в науке мы видим, что это не случайно. Дело в том, что ее происхождение связано именно с богословием. Другими словами, когда мы говорим бесконечное, то так или иначе наш ум как бы возносится к идее совершенного, бесконечного существа, как говорил Декарт, то есть к Богу. Но оказывается, что обсчитать, выразить через число Бога до конца не удается.